线性代数（速通）

1. 行列式

1.1. 基本运算

  1. 行列式每行被称为 r、每列被称为 c（r1=第一行，c3=第三列）

  2. 行列式每行/列都可互换，但每换一次就要变号（r1 和 r2 互换，行列式前要带-）

  3. 行列式每行/列都可进行加 k 倍的运算（r1-3*r2，k=-3）

  4. 行列式每行/列都可以提出公因数并乘到行列式之前（如 r1 有公因式 2，c3 有公因式 2，则为2∗3∗提出后的行列式2*3*提出后的行列式）

  5. 对于二阶行列式而言其值=主对角线（左上−右下）∗副对角线（右上−左下）对于二阶行列式而言其值=主对角线（左上-右下）*副对角线（右上-左下）

1.2. 三角形行列式

形如 ∣a0bc∣ \left|\begin{matrix} a&0\\ b&c \end{matrix} \right| 、 ∣ab0c∣ \left|\begin{matrix} a&b\\ 0&c \end{matrix} \right| 此类行列式被称为三角形（下三角、上三角），其值为a∗c−b∗0=a∗c=主对角元素乘积a*c-b*0=a*c=主对角元素乘积

∣abc0de00f∣=a∗d∗f \left|\begin{matrix} a&b&c\\ 0&d&e\\ 0&0&f\\ \end{matrix} \right| =a*d*f

利用三角形法计算时，应将(1,1)处的值通过交换变为 1

1.3. 只有两种元素的三阶行列式

D=∣xaaaxaaax∣ D= \left|\begin{matrix} x&a&a\\ a&x&a\\ a&a&x\\ \end{matrix} \right|

该行列式，每行和列元素之和都相等。变化为 c1+c2+c3 则得到 ∣x+2aaax+2axax+2aax∣ \left|\begin{matrix} x+2a&a&a\\ x+2a&x&a\\ x+2a&a&x\\ \end{matrix} \right| ，提取 c1 的公因式x+2ax+2a，得到 (x+2a)⋅∣1aa1xa1ax∣ (x+2a)· \left|\begin{matrix} 1&a&a\\ 1&x&a\\ 1&a&x\\ \end{matrix} \right| 此时(1,1)处为 1，则可使用三角形进行后续运算（r2-r1，r3-r1），最终得到 (x+2a)⋅∣1aa0x−a000x−a∣=(x+2a)⋅(x−a)2 (x+2a)· \left|\begin{matrix} 1&a&a\\ 0&x-a&0\\ 0&0&x-a\\ \end{matrix} \right| =(x+2a)·(x-a)^2

1.4. 范德蒙行列式

D1=∣111x1x2x3x12x22x32∣ D_1= \left|\begin{matrix} 1&1&1\\ x_1&x_2&x_3\\ {x_1}^2&{x_2}^2&{x_3}^2\\ \end{matrix} \right| 、 D2=∣1x1x121x2x221x3x32∣ D_2= \left|\begin{matrix} 1&x_1&{x_1}^2\\ 1&x_2&{x_2}^2\\ 1&x_3&{x_3}^2\\ \end{matrix} \right|

范德蒙行列式特点为第一行/列元素全为 1，且第二行/列为该行/列的公比。

首先将第一行/列化为 1 0 0（c2-c1，c3-c1）， D1=∣100x1x2−x1x3−x1x12x22−x12x32−x12∣ D_1= \left|\begin{matrix} 1&0&0\\ x_1&x_2-x_1&x_3-x_1\\ {x_1}^2&{x_2}^2-{x_1}^2&{x_3}^2-{x_1}^2\\ \end{matrix} \right|

然后将第 3 行/列拆开x22−x12=(x2−x1)(x2+x1){x_2}^2-{x_1}^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)，然后针对列提出公因式

D1=(x2−x1)(x3−x1)∣100x111x12x2+x1x3+x1∣ D_1=(x_2-x_1)(x_3-x_1) \left|\begin{matrix} 1&0&0\\ x_1&1&1\\ {x_1}^2&x_2+x_1&x_3+x_1\\ \end{matrix} \right|

最后将仅剩的 1 消去（c3-c2）就可变为三角形了

D1=(x2−x1)(x3−x1)∣100x110x12x2+x1x3−x2∣=(x2−x1)(x3−x1)(x3−x2) D_1=(x_2-x_1)(x_3-x_1) \left|\begin{matrix} 1&0&0\\ x_1&1&0\\ {x_1}^2&x_2+x_1&x_3-x_2\\ \end{matrix} \right| =(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)

对于四阶范德蒙行列式做法也相同，先用第一列/行减去其他几列/行，接着拆出公因式，然后提到行列式前面，最后化为三角形计算

1.4.1 特殊范德蒙行列式

D=∣b+ca+ca+babca2b2c2∣ D= \left|\begin{matrix} b+c&a+c&a+b\\ a&b&c\\ {a}^2&{b}^2&{c}^2\\ \end{matrix} \right|

这种行列式也是特殊的范德蒙行列式，其中 r2+r1 后 r1 可提出公因数 a+b+c，然后 r1 变为 1 1 1，剩下的与三阶范德蒙行列式计算一致

D=(a+b+c)∣111abca2b2c2∣ D=(a+b+c) \left|\begin{matrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ {a}^2&{b}^2&{c}^2\\ \end{matrix} \right|

1.5. 爪型行列式

D=∣a11111a20010a30100a4∣ D= \left|\begin{matrix} a_1&1&1&1\\ 1&a_2&0&0\\ 1&0&a_3&0\\ 1&0&0&a_4\\ \end{matrix} \right|

  1. 首先将主对角线第 2~n 个元素化为 1（每行提对应主对角线元素为公因子，如 1 a2a_2 0 0，则提a2a_2）

  2. 再将其转为三角形行列式

D=a2a3a4∣a11111a21001a30101a4001∣=r1−r2−r3−r4=a2a3a4∣a1−1a2−1a3−1a40001a21001a30101a4001∣=a2a3a4(a1−1a2−1a3−1a4) D=a_2a_3a_4 \left|\begin{matrix} a_1&1&1&1\\ \frac{1}{a_2}&1&0&0\\ \frac{1}{a_3}&0&1&0\\ \frac{1}{a_4}&0&0&1\\ \end{matrix} \right| =^{r_1-r_2-r_3-r_4}= a_2a_3a_4 \left|\begin{matrix} a_1-\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_4}&0&0&0\\ \frac{1}{a_2}&1&0&0\\ \frac{1}{a_3}&0&1&0\\ \frac{1}{a_4}&0&0&1\\ \end{matrix} \right| =a_2a_3a_4(a_1-\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}-\frac{1}{a_4})

即使 r1 为a1a_1 2 3 4，计算方式也一样，只不过 c1 的分子也会随着 r1 之后的数而变换

1.6. 余子式、代数余子式

余子式MijM_{ij}就是去除aija_{ij}所在行和列以外其余元素组成的行列式，而代数余子式AijA_{ij}就是(−1)i+j∗Mij(-1)^{i+j}*M_{ij}

如： ∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣ \left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix} \right| 中a11a_{11}的余子式M11M_{11}是 ∣a22a23a32a33∣ \left|\begin{matrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix} \right| ，其代数余子式A11A_{11}是 (−1)1+1∣a22a23a32a33∣ (-1)^{1+1} \left|\begin{matrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix} \right|

1.6.1 行列式的展开定理：

行列式计算可以使用某行/列的所有元素乘代数余子式之和： D=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=a1jA1j+a2jA2j+a3jA3j D= \left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix} \right| =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3} =a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}\\

也就是说，某行/列的元素可以作为计算行列式结果的系数，反过来系数也可以作为行列式某行/列的元素

如： D=∣31−12−513−4201−11−53−3∣，求A31+3A32−2A33+2A34 D= \left|\begin{matrix} 3&1&-1&2\\ -5&1&3&-4\\ 2&0&1&-1\\ 1&-5&3&-3\\ \end{matrix} \right| ，求A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}

我们只需要将 r3 元素转换成与系数相同的值，然后计算新的行列式即可得到算式的值

如果题目求的是余子式（M）则只需计算出代数余子式前的系数带入即可(−1)i+j(-1)^{i+j}

1.7. 利用拆和的方法计算行列式

  1. 当行列式的某一列/行的元素为两数之和时，行列式可以分解为两个行列式之和

    如： ∣a+bec+df∣=∣aecf∣+∣bedf∣ \left|\begin{matrix} a+b&e\\ c+d&f\\ \end{matrix} \right| =\left|\begin{matrix} a&e\\ c&f\\ \end{matrix} \right|+ \left|\begin{matrix} b&e\\ d&f\\ \end{matrix} \right|

  2. 当行列式的某两列/行的元素成比例，则该行列式=0

    如： ∣a2ab2b∣=2∣aabb∣（提出c2的公因子2）=2(ab−ab)=0 \left|\begin{matrix} a&2a\\ b&2b\\ \end{matrix} \right|= 2\left|\begin{matrix} a&a\\ b&b\\ \end{matrix} \right|（提出 c2 的公因子 2） =2(ab-ab)=0

例如： D1=∣−2a112a11−a12a13−2a212a21−a22a23−2a312a31−a32a33∣ D_1= \left|\begin{matrix} -2a_{11}&2a_{11}-a_{12}&a_{13}\\ -2a_{21}&2a_{21}-a_{22}&a_{23}\\ -2a_{31}&2a_{31}-a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix} \right| ，可以拆解为：

D1=∣−2a112a11a13−2a212a21a23−2a312a31a33∣+∣−2a11−a12a13−2a21−a22a23−2a31−a32a33∣ D_1=\left|\begin{matrix} -2a_{11}&2a_{11}&a_{13}\\ -2a_{21}&2a_{21}&a_{23}\\ -2a_{31}&2a_{31}&a_{33}\\ \end{matrix} \right| +\left|\begin{matrix} -2a_{11}&-a_{12}&a_{13}\\ -2a_{21}&-a_{22}&a_{23}\\ -2a_{31}&-a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix} \right| ，其中，前面的行列式 c1：c2=-1：1，两列成比例，所以行列式等于 0，可得：

D1=0+(−2)(−1)∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣ D_1=0+(-2)(-1) \left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix} \right|

题中告诉 D=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=1 D= \left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{matrix} \right|=1 ，由此可得D1=2D_1=2

1.8. 拉普拉斯公式计算行列式

例如： D=∣a1a200a3a400c1c2b1b2c3c4b3b4∣ D= \left|\begin{matrix} a_{1}&a_{2}&0&0\\ a_{3}&a_{4}&0&0\\ c_{1}&c_{2}&b_{1}&b_{2}\\ c_{3}&c_{4}&b_{3}&b_{4}\\ \end{matrix} \right| ，我们可以将该行列式分为 4 块，此时可以发现，右上角这一块全为 0

所以可以当作下三角行列式，将左上与右下看作主对角进行运算 D=∣a1a2a3a4∣⋅∣b1b2b3b4∣ D= \left|\begin{matrix} a_{1}&a_{2}\\ a_{3}&a_{4}\\ \end{matrix} \right|· \left|\begin{matrix} b_{1}&b_{2}\\ b_{3}&b_{4}\\ \end{matrix} \right|

只有主对角线才能直接相乘，副对角线应当变号互换位置成为主对角线再相乘求值

2. 矩阵

2.1. 基本运算

  1. 矩阵用大写字母，下标 i*j 表示 i 行*j 列

  2. 矩阵乘法得到的新矩阵大小由前一个乘数矩阵的 i 和后一个乘数矩阵的 j 决定。矩阵乘法就是将两个矩阵的(1~i,1~j)的元素相乘并相加，直到两个矩阵都达到 i、j。矩阵相乘的条件：两个矩阵的内标相等（A 的 j=B 的 i）

  3. 矩阵乘法不具有交换律，A⋅B!=B⋅AA·B!=B·A

  4. 矩阵的乘法满足分配律。A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC

  5. E 一般指单位矩阵，相当于系数 1，三阶单位矩阵为 ∣100010001∣ \left|\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right|

2.2. 抽象矩阵求逆矩阵

逆矩阵写作A−1A^{-1}。

对于方阵 A、B，若 AB=E 或 BA=E。则称 A、B 互为逆矩阵，记作A−1=B，B−1=AA^{-1}=B，B^{-1}=A

例：设方阵 A 满足A2−A−2E=0，求(A+2E)−1A^2-A-2E=0，求(A+2E)^{-1}

  1. 凑定义法：根据逆矩阵定义，可以列得(A+2E)⋅?=E(A+2E)·?=E，由题目中给出条件，转为A2+2A−3A−2E=0，提出A可得到：(A+2E)A−3A−2E=0，然后凑(A+2E)，得到(A+2E)A−3A−6E+6E−2E=0⇒(A+2E)A−3(A+2E)+4E=0，再将4E移到右边，并将左边的A+2E提出(A+2E)(A−3E)=−4E。最后将右侧化为E，把−4移到左边即可求出逆矩阵−14(A−3E)A^2+2A-3A-2E=0，提出A可得到：(A+2E)A-3A-2E=0，然后凑(A+2E)，得到(A+2E)A-3A-6E+6E-2E=0\Rightarrow(A+2E)A-3(A+2E)+4E=0，再将4E移到右边，并将左边的A+2E提出(A+2E)(A-3E)=-4E。最后将右侧化为E，把-4移到左边即可求出逆矩阵-\frac{1}{4}(A-3E)

2.3. 数字型矩阵求逆

也就是利用行变换法求A−1A^{-1}：(A∣E)⇒(E∣A−1)(A|E)\Rightarrow(E|A^{-1})

如： (321315323 | 100010001) \left(\begin{matrix} 3&2&1\\ 3&1&5\\ 3&2&3\\ \end{matrix} \ \middle|\ \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right) ，将左侧行列式也换为单位矩阵后，右侧行列式就是逆矩阵了。

(100010001 | 7623−32−1−12−12012) \left(\begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{matrix} \ \middle|\ \begin{matrix} \frac{7}{6}&\frac{2}{3}&-\frac{3}{2}\\ -1&-1&2\\ -\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\ \end{matrix} \right) ，则A−1A^{-1}= (7623−32−1−12−12012) \left(\begin{matrix} \frac{7}{6}&\frac{2}{3}&-\frac{3}{2}\\ -1&-1&2\\ -\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\ \end{matrix} \right)

二阶矩阵求逆矩阵：两调一除：

若 A= (abcd)，且∣A∣!=0，则A−1=1∣A∣(d−b−ca)\left(\begin{matrix} a&b\\ c&d\\ \end{matrix} \right)，且|A|!=0，则A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(\begin{matrix} d&-b\\ -c&a\\ \end{matrix} \right)

  1. 两调：将主对角线调换位置，副对角线符号变号

  2. 一除：上面步骤完成后再除以行列式

如：A= (14−12) \left(\begin{matrix} 1&4\\ -1&2\\ \end{matrix} \right) ，求A−1A^{-1}

先求的 A 的行列式 ∣A∣=∣14−12∣=6!=0 |A|= \left|\begin{matrix} 1&4\\ -1&2\\ \end{matrix} \right|=6!=0 ，然后即可得出 A 的逆矩阵 A−1=16(2−411) A^{-1}=\frac{1}{6} \left(\begin{matrix} 2&-4\\ 1&1\\ \end{matrix} \right)

2.4. 求解矩阵方程

  1. 未知矩阵在右侧：A⋅X=BA·X=B，则X=A−1BX=A^{-1}B

  2. 未知矩阵在左侧：X⋅A=BX·A=B，则X=BA−1X=BA^{-1}

  3. 未知矩阵在中间：A·X⋅B=CX·B=C，则X=A−1CB−1X=A^{-1}CB^{-1}

2.4.1 含伴随矩阵

A∗A^*被称为 A 的伴随矩阵，且AA∗=A∗A=∣A∣⋅E，A∗=∣A∣⋅A−1，A−1=A∗∣A∣AA^*=A^*A=|A|·E，A^*=|A|·A^{-1}，A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}

例：设矩阵 X 满足：A∗⋅X=A−1B+2XA^*·X=A^{-1}B+2X，其中 A=(11−1−1111−11)\left(\begin{matrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{matrix} \right)，B=(111000)\left(\begin{matrix}1&1\\1&0\\0&0\end{matrix} \right)，求矩阵 X

由方程 A∗X=A−1B+2XA^*X=A^{-1}B+2X 同时乘 A，得 A⋅A∗X=A⋅A−1B+2A⋅X⇒A·A^*X=A·A^{-1}B+2A·X\Rightarrow ∣A∣⋅X=B+2AX（A∗A=∣A∣⋅E，AA−1=E）|A|·X=B+2AX（A^*A=|A|·E，AA^{-1}=E）

其中∣A∣=4（题中矩阵计算得）|A|=4（题中矩阵计算得），可得 (4E−2A)X=B⇒X=(4E−2A)−1B(4E-2A)X=B\Rightarrow X=(4E-2A)^{-1}B

接着矩阵运算：4E=4(100010001)4E=4\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix} \right)，2A=2(11−1−1111−11)2A=2\left(\begin{matrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{matrix} \right)， 4E−2A=(2−2222−2−222)4E-2A=\left(\begin{matrix}2&-2&2\\2&2&-2\\-2&2&2\end{matrix} \right)

然后使用行变换法（或初等变换法）求出(4E−2A)−1(4E-2A)^{-1}，再计算X=(4E−2A)−1BX=(4E-2A)^{-1}B，得到X=14(211−110)X=\frac{1}{4}\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\\1&0\end{matrix} \right)

2.5. 方阵的行列式

常见公式：

  1. ∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}

  2. ∣AT∣=∣A∣（AT为A的转置矩阵，将矩阵上下对换然后顺时针旋转90°）|A^{T}|=|A|（A^{T}为A的转置矩阵，将矩阵上下对换然后顺时针旋转90°）

  3. ∣kAn∗n∣=kn∣A∣|kA_{n*n}|=k^n|A|

  4. ∣An∗n∗∣=∣A∣n−1|A^*_{n*n}|=|A|^{n-1}

∣A+B∣!=∣A∣+∣B∣|A+B|!=|A|+|B|

例：设A3∗3A_{3*3}， ∣A∣=12|A|=\frac{1}{2}， 求∣(3A)−1−2A∗∣|(3A)^{-1}-2A^*|

由A∗=∣A∣⋅A−1A^*=|A|·A^{-1}， A∗=12A−1⇒A^*=\frac{1}{2}A^{-1}\Rightarrow 2A∗=A−1⇒2A^*=A^{-1}\Rightarrow ∣(3A)−1−2A∗∣=∣13A−1−A−1∣=∣−23A−1∣|(3A)^{-1}-2A^*|=|\frac{1}{3}A^{-1}-A^{-1}|=|-\frac{2}{3}A^{-1}|

此时k=−23k=-\frac{2}{3}，且 A 为 3*3 阶矩阵。满足∣kAn∗n∣=kn∣A∣|kA_{n*n}|=k^n|A|，得到 (−23)3⋅∣A−1∣(-\frac{2}{3})^{3}·|A^{-1}|，其中A−1=1∣A∣=2A^{-1}=\frac{1}{|A|}=2

最终得到结果为−1627-\frac{16}{27}

2.6. 矩阵的秩

  1. 行阶梯形矩阵的特点：矩阵中每一行的首个非 0 元素所在的列比下一行的首个非 0 元素所在的列都靠前

  2. 利用行初等变换法化 A 为阶梯形 B，r(A)=B 中非 0 行的行数

例：设A=(31021−12−113−44)A=\left(\begin{matrix}3&1&0&2\\1&-1&2&-1\\1&3&-4&4\end{matrix} \right)，求 r(A)

利用行初等变换法将 A 化为(1−12−104−650000)\left(\begin{matrix}1&-1&2&-1\\0&4&-6&5\\0&0&0&0\end{matrix} \right)（r1、r2 互换；r2-3r1、r3-r1；r3-r2）

由此得出：r(A)=2

3. 向量组的线性相关性

3.1. 判别向量组的线性相关性（数字型）

  1. 两个向量 d1 与 d2 相关的条件：d1 与 d2 二者的元素对应成比例

    如d1=(12)，d2=(24)d_1=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)，d_2=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)，则二者线性相关（几何上共线）

    且 d1 与 d2 向量相乘的行列式=0，∣d1d2∣=∣1224∣=0|d_1d_2|=\left|\begin{matrix}1&2\\2&4\end{matrix}\right|=0

  2. 多个向量 d1,d2,...,dm（m 个向量）相关的条件：

    1. 多个向量的行列式 = 0 则线性相关（!= 0 则线性无关）

    2. 多个向量的秩 < 其个数 m（= m 则线性无关）

3.2. 判别向量组的线性相关性（抽象型）

  1. 抽象性向量组的表示方法： (d1,d2)(1234)（简单向量组∗数字型矩阵）=(d1+3d2,2d1+4d2)（复杂向量组） \left(d_1,d_2\right)\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)（简单向量组*数字型矩阵）= \left(d_1+3d_2,2d_1+4d_2\right)（复杂向量组）

    使用简单向量组去表示复杂向量组。复杂向量组的系数就是对应每列的数字型矩阵某行的元素

    上述式子中，复杂向量组系数为(1,3)、(2,4)，对应数字型矩阵 c1=(1,3)、c2=(2,4)

  2. 判断复杂向量组的相关性：将复杂向量组转为简单向量组与数字型矩阵 C 的乘积形式，如果|C|=0（C 不可逆），则复杂向量组线性相关（!= 0（C 可逆），则复杂向量组线性无关）

3.3. 求向量组的秩与极大无关组

  1. 向量组的秩：就是将向量组写成矩阵的形式，求矩阵的阶梯形中非 0 行数

  2. 极大无关组：一般取阶梯形中拐弯处所在的列向量

例：设 d1=(1213)d_1=\left(\begin{matrix}1\\2\\1\\3\end{matrix}\right)， d2=(4−1−5−6)d_2=\left(\begin{matrix}4\\-1\\-5\\-6\end{matrix}\right)， d3=(1−3−4−7)d_3=\left(\begin{matrix}1\\-3\\-4\\-7\end{matrix}\right)， 求d1,d2,d3d_1,d_2,d_3的秩和一个极大无关组

将向量写成矩阵形式(d1,d2,d3)=(1412−1−31−5−43−6−7)(d_1,d_2,d_3)=\left(\begin{matrix}1&4&1\\2&-1&-3\\1&-5&-4\\3&-6&-7\end{matrix}\right)，经过 r2-2r1，r3-r1，r4-3r1，得到(1410−9−5000000)\left(\begin{matrix}1&4&1\\0&-9&-5\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right)

  1. 得到 r(d1,d2,d3)=2

  2. 将矩阵的列标出为列向量 d1'，d2'，d3'，其相关性与原向量组相关性相同

  3. 矩阵中的阶梯形共有两个拐弯处 d1'，d2'。所以有其极大无关组有两个向量，取 d1'，d2'

4. 线性方程组

4.1. 齐次方程组的求解

齐次的定义：等号右边的向量为 0 向量（A·X = 0）

  1. 齐次方程组有零解和非零解的条件：一个Am∗n⋅x=0A_{m*n}·x=0的齐次方程组，如果系数矩阵Am∗nA_{m*n}的秩r(Am∗n)r(A_{m*n})=其列数（n），则齐次方程组只有零解（有唯一解）。若<n 则有非零解（有无穷解）

  2. 基础解系：当 AX=0 有无穷解时，解集的极大无关组被称为基础解系。基础解系所含解向量个数=未知数的个数n−系数矩阵的秩r(A)个=自由变量个数基础解系所含解向量个数=未知数的个数n-系数矩阵的秩r(A)个=自由变量个数

    例：如 {x1+x2+x3=02x1+2x2+2x3=03x1+x32+x33=0\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0\\ 2x_1+2x_2+2x_3=0\\ 3x_1+x3_2+x_33=0\\ \end{cases}，则系数矩阵 A=(111222333)A= \left( \begin{matrix} 1&1&1\\ 2&2&2\\ 3&3&3\\ \end{matrix} \right)

    通过行变换求出秩 (111000000)⇒r(A)=1\left( \begin{matrix} 1&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{matrix} \right) \Rightarrow r(A)=1

    方程组有 3 个方程，其中有效方程只有x1+x2+x3=0x_1+x_2+x_3=0。1 个有效方程，却有 3 个未知数，所以其余两个未知数是多余的，被称为自由变量

    将自由变量 k 移至等号右边，得到x1=−k1−k2x_1=-k_1-k_2

    其中 x 是一个向量，拥有 3 个分量 x=(x1x2x3)=(−k1−k2k1k2)x= \left( \begin{matrix} x_1\\x_2\\x_3\\ \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} -k_1-k_2\\k_1\\k_2\\ \end{matrix} \right)

    将其分为两个向量的和，可以分解为（第一个仅与 k1 有关，第二个仅与 k2 有关） x=(−k1k10)+(−k20k2)x= \left( \begin{matrix} -k_1\\k_1\\0\\ \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} -k_2\\0\\k_2\\ \end{matrix} \right) ，提出公因式，可得到 x=k1(−110)+k2(−101)x=k_1 \left( \begin{matrix} -1\\1\\0\\\end{matrix} \right)+k_2 \left( \begin{matrix} -1\\0\\1\\\end{matrix} \right) ，这两个向量被称为基础解系。表示为：

    ξ1=(−110)\xi_1=\left( \begin{matrix} -1\\1\\0\\\end{matrix} \right)， ξ2=(−101)\xi_2=\left( \begin{matrix} -1\\0\\1\\\end{matrix} \right)

  3. 通解：通解等于基础解系的线性组合，x=k1ξ1+k2ξ2，其中k1,k2为任意常数x=k_1\xi_1+k_2\xi_2，其中k_1,k_2为任意常数

  4. 基础解系的求法：把系数矩阵化为行最简形（矩阵的列数 n 就是未知数的个数）

    例： A3∗4=(102−101340000)A_{3*4}=\left( \begin{matrix} 1&0&2&-1\\0&1&3&4\\0&0&0&0\\\end{matrix} \right)

    其中 r(A)=2，有效变量为 2，基础解系=n-r(A)=2。

    得到基础解系 ξ1=(−2−310)\xi_1=\left( \begin{matrix} -2\\-3\\1\\0\\\end{matrix} \right)， ξ2=(1−401)\xi_2=\left( \begin{matrix} 1\\-4\\0\\1\\\end{matrix} \right)

    过程：

    首先将系数矩阵的行最简形转为方程组

    {1⋅x1+0⋅x2+2⋅x3+(−1)⋅x4=00⋅x1+1⋅x2+3⋅x3+4⋅x4=0\begin{cases} 1·x_1+0·x_2+2·x_3+(-1)·x_4=0\\ 0·x_1+1·x_2+3·x_3+4·x_4=0\\ \end{cases}

    由 n-r(A)=2 得出有效变量为 2，则将 x3，x4 设为自由变量 k1，k2

    {x1=−2x3+x4x2=−3x3−4x4⇒{x1=−2k1+k2x2=−3k1−4k2\begin{cases} x_1=-2x_3+x_4\\ x_2=-3x_3-4x_4\\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_1=-2k_1+k_2\\ x_2=-3k_1-4k_2\\ \end{cases}

    将其转为基础解系，得到 x=(x1x2x3x4)⇒(−2k1+k2−3k1−4k2k1k2)x=\left( \begin{matrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\\end{matrix} \right)\Rightarrow \left( \begin{matrix} -2k_1+k_2\\-3k_1-4k_2\\k_1\\k_2\\\end{matrix} \right) ，拆分为列向量相加，得到 (−2k1−3k1k10)+(k2−4k20k2)\left( \begin{matrix}-2k_1\\-3k_1\\k_1\\0\\\end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix}k_2\\-4k_2\\0\\k_2\\\end{matrix} \right) ，提出公因子，得到 k1(−2−310)+k2(1−401)k_1\left( \begin{matrix}-2\\-3\\1\\0\\\end{matrix} \right)+ k_2\left( \begin{matrix}1\\-4\\0\\1\\\end{matrix} \right)

    观察法：

    以上面方程组为例，基础解系有 2 个，且拐弯处后一列为 c3、c4，对应未知数 x3、x4。

    移位要变号，所以基础解系ξ1\xi_1从 c3（(2,3)变号为(-2,-3)）与 x3（是 x3 为 1，不是 x4 为 0）得出，另一个基础解系同理。

4.2. 非齐次方程组的求解

非齐次就是等号右边不为 0

增广矩阵：增广矩阵就是在系数矩阵最右侧一列，添加线性方程组等号右边的值

  1. 对于非齐次方程 A·x=b。如果系数矩阵的秩 r(A) = 增广矩阵的秩 r(A|b)，且比 n 小则非齐次方程有无穷解，等于 n 则非齐次方程有唯一解。如果系数矩阵的秩 r(A) != 增广矩阵的秩 r(A|b)，则非齐次方程无解。

  2. 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

    非齐次特解：

    也就是将自由变量带入特定值得到的向量，如 A·x=b 的增广阵(A|b)的行最简为 (1012|10134|2)\left( \begin{matrix}1&0&1&2\middle|1\\0&1&3&4\middle|2\\\end{matrix} \right)

    将增广阵转为方程组 {x1+x3+2x4=1x2+3x3+4x4=2\begin{cases} x_1+x_3+2x_4=1\\ x_2+3x_3+4x_4=2\\ \end{cases}

    给 x3、x4 均带入特值 0，得到 {x1=1x2=2\begin{cases} x_1=1\\ x_2=2\\ \end{cases}

    转化为特解 η=(x1x2x3x4)=(1200)\eta=\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\\end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix}1\\2\\0\\0\\\end{matrix} \right)

4.3. 带参数方程组的求解

根据题目要求判断是无穷解（中的具体几个）、唯一解、无解，然后写出系数矩阵与增广阵与未知数之间的关系。

5. 矩阵的特征值与特征向量

5.1. 特征值与特征向量的求法（数字型矩阵）

  1. 求特征值的方法：由特征方程∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0解得λ\lambda即为 A 的特征值

  2. 求矩阵 A 对应于特征值λ0\lambda_0的特征向量求法：解一个齐次方程组(λ0E−A)⋅x=0(\lambda_0 E-A)·x=0，其基础解系就是对应的特征向量

例：求矩阵 (123213336)\left( \begin{matrix}1&2&3\\2&1&3\\3&3&6\\\end{matrix} \right) 的特征值与特征向量

求特征值：

由特征方程∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0，列出

∣λ(100010001)−(123213336)∣=∣(λ−1−2−3−2λ−1−3−3−3λ−6)∣\left|\lambda\left( \begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}1&2&3\\2&1&3\\3&3&6\\\end{matrix} \right)\right|=\left|\left( \begin{matrix}\lambda-1&-2&-3\\-2&\lambda-1&-3\\-3&-3&\lambda-6\\\end{matrix} \right)\right|

然后化为行列式 ∣λ−1−2−3−2λ−1−3−3−3λ−6∣\left| \begin{matrix}\lambda-1&-2&-3\\-2&\lambda-1&-3\\-3&-3&\lambda-6\\\end{matrix} \right|

  1. r1-r2 将(r1,c3)的-3 变为 0

  2. c2+c1，将(r1,c2)变为 0，

  3. 使用拉普拉斯变换，右上区域为 0，主对角线相乘，得到 (λ+1)∣λ−3−3−6λ−6∣(\lambda+1)\left| \begin{matrix}\lambda-3&-3\\-6&\lambda-6\\\end{matrix} \right|。最后二阶行列式展开得到(λ+1)(λ−9)⋅λ=0⇒λ1=−1,λ2=9,λ3=0(\lambda+1)(\lambda-9)·\lambda=0\Rightarrow\lambda_1=-1,\lambda_2=9,\lambda_3=0

求特征向量：

当λ1、2、3\lambda_{1、2、3}时，由齐次方程组(λ1、2、3E−A)⋅x=0(\lambda_{1、2、3} E-A)·x=0得：

(λ1E−A)=(−E−A)(\lambda_1 E-A)=(-E-A)

(λ2E−A)=(9E−A)(\lambda_2 E-A)=(9E-A)

(λ3E−A)=−A(\lambda_3 E-A)=-A

5.2. 特征值与特征向量的求法（抽象型矩阵）

矩阵的迹：等于矩阵主对角线元素之和

关于抽象矩阵 A 的若干性质：

  1. 设三阶矩阵 A 的特征值为λ1、λ2、λ3\lambda_1、\lambda_2、\lambda_3，则 A 的行列式等于特征值之积∣A∣=λ1λ2λ3|A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3，A 的迹等于特征值的和tr(A)=λ1+λ2+λ3tr(A)=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3

  2. 若λ\lambda为 A 的特征值，α\alpha为对应于λ\lambda的特征向量，则：Aα=λα（α!=0）A\alpha=\lambda\alpha（\alpha != 0），其中α\alpha被称为特征向量，λ\lambda被称为特征值

    如：A 有特征值λ=3\lambda=3，则A2=λ2=9，A−1=λ−1=13，2A−2E=2λ−2=4A^2=\lambda^2=9，A^{-1}=\lambda^{-1}=\frac{1}{3}，2A-2E=2\lambda-2=4

5.3. 矩阵的相似对角化

对角阵^：^被称为对角阵，也就是只有主、副对角元素非 0，其余位置元素均为 0

相似对角化：对一个矩阵 A 做一个变换，将其转为对角矩阵。称 A 为可相似对角化

  1. 若矩阵 P 可逆，使得P−1AP=∧P^{-1}AP=\wedge，则称 A 可相似对角化

  2. 把矩阵 A 对角化的步骤：

    1. 求 A 的特征值λ1,2,3\lambda_{1,2,3}

    2. 求 A 的特征向量α1,2,3\alpha_{1,2,3}

    3. 用特征向量构成可逆阵 P，P=(α1,α2,α3)P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)，则P−1AP=∧=(λ1000λ2000λ3)P^{-1}AP=\wedge=\left( \begin{matrix}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\\\end{matrix} \right)

6. 二次型

6.1. 二次型的矩阵表示

二次型矩阵的三要素：

  1. 矩阵要求对称AT=AA^T=A

  2. 矩阵的主对角元素为平方项系数

  3. 矩阵的其他元素为交叉项系数的一半

例：

  1. f(x1,x2)=2x12−x22+6x1x2f(x_1,x_2)=2x_1^2-x_2^2+6x_1x_2，两个变量的二次型叫做二元二次型

    =(x1,x2)(233−1)(x1x2)=xTAx=\left( \begin{matrix}x_1,x_2\\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}2&3\\3&-1\\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\\\end{matrix} \right)=x^TAx

    其中，中间的矩阵记作AA。A 的主对角系数是平方项系数（2、-1），其他系数是交叉项系数的一半(r2,c1)=(r1,c2)=x1∗2的系数2(r2,c1)=(r1,c2)=\frac{x_{1*2}的系数}{2}

二次型的秩：也就是相应矩阵 A 的秩，所以首先要求出矩阵 A

6.2. 化二次型为标准形

标准形：只有平方项的二次型叫做标准形

  1. 利用配方法化二次型为标准形

    a2+2ab=a2+2ab+b2−b2=(a+b)2−b2⇒a^2+2ab=a^2+2ab+b^2-b^2=(a+b)^2-b^2\Rightarrow

    a2+ab=a2+2ab2+(b2)2−(b2)2=(a+b2)2−14b2a^2+ab=a^2+2a\frac{b}{2}+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2=(a+\frac{b}{2})^2-\frac{1}{4}b^2

    1. 先配所有含x1x_1的项

    2. 再配所有含x2x_2的项

    3. 当所有项都为完全平方项时，换元

  2. 利用正交变化法化二次型为标准形

    1. 写出二次型的矩阵 A

    2. 求 A 的特征值λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3

    3. 求 A 的特征向量α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3

    4. 把α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3中不正交的向量施密特正交化

    5. 把以上所有向量单位化为ξ1,ξ2,ξ3\xi_1,\xi_2,\xi_3，则Q=(ξ1,ξ2,ξ3)Q=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)为正交矩阵

    6. 作变换：令x=Qyx=Qy，可使f=λ1y12+λ2y22+λ3y32f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2标准形

6.3. 正定二次型、正定矩阵

判断二次型正定（即矩阵 A 正定）的方法：

  1. A 的特征值全大于 0（即二次型 f 的正惯性指数=未知数个数）

    正惯性指数：指标准形中，正平方项的个数

  2. A 的各阶顺序主子式全大于 0

    各阶顺序主子式：以A=(abcdefghc)A=\left( \begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&c\\\end{matrix} \right)为例，其一阶顺序主子式指的是(r1,c1)构成的一个行列式Δ1=∣a∣\Delta_1=|a|，而二阶顺序主子式则是(r1,c1)~(r2,c2)这四个元素构成的行列式Δ2=∣abde∣\Delta_2=\left| \begin{matrix}a&b\\d&e\\\end{matrix} \right|，……