电路模型和电路定理

节点

• 电路模型

• 参考方向

• 关联方向

• 功率、吸收发出

• 集总和分布电路概念

• 电阻元件

• 功率两种公式

• 电阻的开短路

• 理想电源

• 受控源

• 受控源和独立源的区别

• 基尔霍夫定理

1.1 电路和电路模型

1. 实际电路(二者的不同与相同之处)

1. 实际电路：由电工设备和电气器件按预期的目的连接构成的电流的通路(实际的元件接线得到的真实模样)

2. 电路模型：为了分析能量和信息的方便，将实际的元器件与实际的电路按照电的属性抽象出来的理论模型。通过研究电路模型得出的一些结论，与具体电路如何连接关系不大

• 功能：

  1. 能量的传输、分配与转换

  2. 信息的传递、控制与处理

• 共性：电路和电路模型都是建立在同一电路理论基础上

2. 电路模型

将实际电路中的电池、导线、开关、用电器分别抽象成对应成符号，来分析能量和信息 (实际电路的功能 & 电路模型的作用)

这样就完成了实际电路到电路模型的抽象过程，仅针对电路模型进行分析就能得到实际电路的能量和信息

模型抽象的精度问题

• 

  如：实际电源与理想电源，实际电源要考虑内阻$R_s$。如果实际电路与电路模型不能等效，则分析电路模型所得到的结论，就没有对实际电路的说服意义

• 电路模型：反应实际电路部件的主要电磁性质的理想电路元件及其组合

  实际电路部件通过电和磁的关系分解成理想电路元件及其组合(如电池是一个实际元件，能分解成理想的没有内阻的电源和理想的电阻$R_s$的串联组合)

• 理想电路元件：有某种确定的电磁性能的理想元件。理想元件是电路模型中的最小单元，任何实际的元件无非也是分解成理想元件的组合 (还记着电池吗? 理想电源 + 理想电阻)

电路的词汇专业化

• 输入 & 输出(因果关系)：激励(入) & 响应(出)

3. 5 种基本的理想电路元件

1. 电阻$R$ 元件：对应消耗电能的元件 (将电能转化为内能消耗掉)

2. 电感$L$ 元件：对应产生磁场，存储磁场能量的元件

3. 电容$C$ 元件：对应产生电场，存储电场能量的元件 (与电感是对偶关系)

   电感和电容元件只储存或转移能量。入或者出，不消耗能量 (理想电路元件)

4. 电压源和电流源：对应将其他形式的能量转变成电能的元件。是电路能量的来源

注意

• 5 种基本理想电路元件有3个特征：

  1. 只有两个端子 (仅这 5 种)

  2. 可以用电压或电流按数学方式描述 (研究u和i的函数关系)

  3. 不能被分解为其他元件 (是电路模型中的最小单元)

1. 具有相同的主要电磁性能的实际电路部件，在一定条件下可用同一电路模型表示 (如：灯泡使用电阻R_L表示；鸡肉和牛排都可以称为食物)

2. 同一实际电路部件在不同的应用条件下，其电路模型可以有不同的形式

   例：电感线圈的电路模型

   • 等效为电阻：在直流的时候，仅反应为导线内的电流引起的能量损耗
   • 等效为理想线圈：在交变电流和交流的时候，反应磁场能的储存和释放。此时可以等效成理想的线圈
   • 考虑能量的损耗：在交变电流和交流的时候，再加能耗的问题。等效为电感和电阻的串联
   • 考虑电容效应：在高频的时候，不仅考虑能耗，还考虑电容效应的问题。等效为电感电阻串联后和电容并联的结构

$\divideontimes$ 1.2 电流、电压、关联的参考方向

1. 电流的参考方向

• 电流概念：限定带点粒子有规则的定向运动的方向

• 电流强度：单位时间内通过导体横截面的电荷量

  $之前:\ I=\frac{Q}{t}\Rightarrow 大学:\ i(t)=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{dq}{dt}$

  大写字母$I$、$Q$表示恒定的量，对于瞬时变化的量使用小写字母$i$、$q$

  之前学的$I=\frac{Q}{t}$则使用求导(求的是导函数，不是导函数在特殊点的值)的微商来替代除法，使用积分(求的是变上限积分，而不是求定积分)来替代乘法

• 电流单位：$A$(安培)

• 电流方向：规定正电荷的运动方向为电流的实际方向

  元件(导线)中电流流动的实际方向只能有 2 种可能性：

  1. $A\bigoplus-->B$：则电流流动的实际方向由 A 到 B

  2. $A<--\bigoplus B$：则电流流动的实际方向由 B 到 A

  问题： 对于复杂电路或电路中的电流随时间变化时，电流的实际方向往往很难事先判断 (变化很快) 。由此引出参考方向问题

• 参考方向：任意假定一个正电荷运动的方向即为电流的参考方向

  

  该元件有 A、B 两端，向右箭头写 i。假想从 A 到 B 这个方向为电流的正方向

  电流的参考方向与实际方向的关系：

  • 

    参考方向与实际方向一致，则$i>0$

  • 

    参考方向与实际方向相反，则$i<0$

  表明： 电流是一个代数量，拥有大小、$±$方向(描述了参考方向与实际方向是否一致的问题)

电流参考方向的两种表示：

• 用箭头表示 (常用)：箭头的指向为电流的参考方向

  

• 用双下标表示：如$i_{AB}$，电流的参考方向由 A 指向 B

  

2. 电压的参考方向

• 电位$\varphi$：单位正电荷 q 从电路中一点移至参考点($\varphi =0$)时电场力做功的大小

  $设\varphi_0作为参考点,\ 则\varphi_0=0 \\ \because W=qU_{AB},\ U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B \\ \therefore q(\varphi_A-\varphi_0)=qU_{A0}=W_{A0} \\ 当q=1时:\ \varphi_A-\varphi_0=W_{A0}$

• 电压$U$：单位正电荷 q 从电路中一点移至另一点时点成立做功($W$)的大小

  $\because W = qU_{AB} \\ 当q=1时:\ W=U_{AB}$

  $之前:\ U=\frac{W}{q}\Rightarrow 大学:\ U = \frac{dW}{dq}$

• 实际电压方向：电位真正降低的方向 (从高电位指向低电位的方向称为实际电压方向)

• 单位：$V$(伏特)

例题

1. $\because \varphi_b=0,\ U_{ab}=\frac{W_{ab}}{q},\ U_{bc}=\frac{W_{bc}}{q} \\ \therefore U_{ab}=\frac{8J}{4C}=2V,\ U_{bc}=\frac{12J}{4C}=3V \\ 又\because U_{ab}=\varphi_a-\varphi_b,\ U_{bc}=\varphi_b-\varphi_c \\ \therefore \varphi_a=U_{ab}+\varphi_b=2+0=2V,\ \varphi_c=\varphi_b-U_{bc}=0-3=-3V$

2. $当c为参考点时,\ \varphi_c=0 \\ U_{ac}=\varphi_a-\varphi_c=\frac{W_{ac}}{q}=\frac{8+12}{4}=5V \\ \varphi_a=U_{ac}+\varphi_c=5+0=5V \\ U_{bc}=\varphi_b-\varphi_c=\frac{W_{bc}}{q}=\frac{12}{4}=3V \\ \varphi_b=U_{bc}+\varphi_c=3+0=3V$

结论： 电位参考点可以任意选取。参考点选择后电路中各点的电位值就唯一确定。选择不同的电位参考点，电路中各点电位值将改变，但任意两点间电压保持不变

问题： 复杂电路或交变电路中，两点间电压的实际方向往往不易判别 (变化很快) ，给实际电路问题的分析计算带来困难

• 电压(电压降)的参考方向：假设由高电位指向低电位的方向

  

  该支路规定电位为左高右低，则电压降的方向就是从左向右

  • 如果参考方向与实际方向一致，则$U>0$

    

  • 如果参考方向与实际方向相反，则$U<0$

    

电压参考方向的 3 种表示方式：

1. 用箭头表示：

   

2. 用正负极性表示 (常用)：

   

3. 用双下标表示：

   

3. 关联参考方向

如果一个元件或支路的电压和电流，采用相同的参考方向，则称之为关联参考方向。反之称为非关联参考方向。关联与非关联是对于具体的一个元件或支路，并不是对电路的通泛概念

例题

$\therefore A电压、电流参考方向非关联,\ B电压、电流参考方向关联$

注意：

1. 分析电路前必须选定电压和电流的参考方向

2. 一旦选定参考方向，必须在图中响应位置标注(包括方向和符号)，在计算过程中不得任意改变

3. 参考方向不同时，其表达式相差一负号，但电压、电流的实际方向不变。对于分析能量、信息没有本质差异

   就是电流或电压实际方向是怎样和你假定的电流或电压参考方向无关，如果不一样那相差的仅是一个符号

$\divideontimes$ 1.3 电功率和能量

1. 电功率

• 概念：单位时间内电场力所做的功 $以前:\ P=\frac{W}{t}\Rightarrow 大学:\ p=\frac{dw}{dt} \\ p=\frac{dw}{dt}=\frac{dw}{dq}\ ·\ \frac{dq}{dt}=ui$
• 单位：
  • 功率：$W$(瓦特)
  • 能量：$J$(焦耳)

2. 电路吸收或发出功率的判断

1. 吸收功率用$+$表示、发出功率用$-$表示

2. $u、i$关联参考方向为$+$、非关联则为$-$

例：若$u=3V,\ i=-2A,\ P_{吸A}$等于多少？

$\because 求吸收功率,\ 电压和电流为非关联参考方向 \\ \therefore P_{吸A}=(-)(+)ui=-ui=-3V\ ·\ (-2)A=6W \\ 如果P>0,\ 则为吸收正功率(实际吸收) \\ 如果P<0,\ 则为吸收负功率(实际发出)$

例题

$若均求发出功率(-)\\ 针对U_1：u和i呈非关联参考方向,\ \therefore P_1=(-)(-)U_1I_1=1V\times2A=2W(发出正功率=实际发出) \\ 针对U_2：u和i呈关联参考方向,\ \therefore P_2=(-)(+)U_2I_1=(-)(-3V)\times2A=6W(发出正功率=实际发出) \\ 针对U_3：u和i呈关联参考方向,\ \therefore P_2=(-)(+)U_3I_1=(-)8V\times2A=-16W(发出负功率=实际吸收) \\ 后面懒得算了... \\$

结论： 对于一个完整的电路，满足：$发出的功率=吸收的功率$ (从实际电路来讲，因为能量守恒，所以一个电路功率是守恒的)

1. 从实际电路出发：在电路中每个元件的$P_{发出}$之和 $=$ $P_{吸收}$之和

2. 从计算角度来说：以自己定义的吸收或发出计算出的$P$来看，$P_{发出}$之和 $=0$、$P_{吸收}$之和 $=0$

1.4 电路元件

1. 电路元件

回顾：电路元件是电路中最基本的组成单元

注意： 如果表征元件端子特性的数学关系式是线性关系，该元件称为线性元件，否则称为非线性元件

2. 集总参数电路

• 概念：由集总元件构成的电路。

  集总参数：集合起来，总体来看。对应集总的是分布式参数

  若没有特别说明，则默认研究集总参数电路

• 集总元件：假定发生的电磁过程都集中在元件内部进行(元件内部的大小与电磁过程相比，这个大小可以被忽略)

• 集总条件：$d\ll \lambda$，其中$d$表示电路的尺寸 $\lambda$表示电磁过程辐射的电磁波波长

  注意： 集总参数电路中$u、i$可以是时间的函数，但与空间坐标无关。解释为：任意时刻，流入二端元件一个端子的电流等于另一个端子流出的电流 (也就是：电流流入的瞬间就会流出，不用考虑时间差且流入与流出电流相等) ，端子间的电压为单值量 (也就是：一个二段元件两端的电位差就是该支路的电压，不在细分比如从$A$到$中间O$的电位差是多少)

  如果给尺寸和波长都$\div$光速$c$：

  $\frac{d}{c}\ll \frac{\lambda}{c}=\iota\ll T \\ 其中\iota指经过电路尺寸所需要的时间,\ T指电磁过程的周期$

  就是说以后默认都是集总参数的电路，上面的可以不管（

$\divideontimes$ 1.5 电阻元件

1. 定义

$W=\int dw=\int_{q(t_0)}^{q(t)}udq \\ \uparrow w=udq \\ \because i=\frac{dq}{dt}\ \therefore dq=i\ ·\ dt \\ W=\int dw=\int_{q(t_0)}^{q(t)}udq=\int_{t_0}^{t}u(\xi)i(\xi)d\xi$

• 电阻元件：对电流呈现阻力的元件。其特性可用$u$ ~ $i$平面上的一条曲线来描述

  

  曲线上面任何一点$(i_0,\ u_0)$的斜率就是该点上具体电阻表现的阻值

2. 线性时不变电阻元件

任何时刻端电压与电流成正比的电阻元件

$u$ ~ $i$关系： 满足欧姆定律

$u=Ri\ R=\frac{u}{i} \\ i=\frac{u}{R}=Gu$

如果直线过 1、3 象限，说明 u、i 取关联参考方向

如果 u、i 取非关联参考方向，则图像为过 2、4 象限的一条直线

单位： $R$称为电阻，单位$\Omega(Ohm)$欧姆。$G$称为电导，单位$S(Siemens)$西门子

$R=\frac{1}{G}$ 阻碍能力越大，导通能力越小；导通能力越大，阻碍能力越小

注意： 欧姆定律

1. 只适用于线性电阻(R 为常数)

2. 如果电阻上的电压与电流参考方向非关联，公式中应冠以符号

   

3. 线性电阻是无记忆、双向性的元件 (学到电容和电感就知道了)

3. 功率和能量

功率

$(关联，吸收功率)p=(+)(+)ui=i^2R=\frac{u^2}{R}(\geq 0，实际吸收) \\ (非关联，发出功率)p=(-)(-)ui=(-Ri)i=-i^2R=\frac{-u^2}{R}(\leq 0，实际吸收)$

结论(电阻的特性)：对于电阻来说，实际的电压电流参考方向一定是关联的。电阻要么不消耗功率(没使用)，要么消耗功率(使用)。

电阻元件在任何时候总是消耗功率(能量)的

为什么$\frac{u^2}{R}t$无意义？

$总功W=UIt,\ 热量Q=I^2Rt \\ 如果是线性不变电阻，则消耗电能转为内能W=Q=\frac{u^2}{R}t \\ 如果是电动机等电能做其他功，而非全部转为热量的话W>Q\Rightarrow U>IR,\ 此时不符合欧姆定律,\ 也推不出\frac{u^2}{R}t(无意义)$

不存在电阻的阻值为 0，但是阻值为负的东西是存在的(电池)

4. 电阻的开路与短路

• 开路：也就是断路。$i=0，u\neq0(电压可任意)\Rightarrow R=\infty\ or\ G=0$

  

• 短路：$i\neq0(电流可任意)，u=0\Rightarrow R=0\ or\ G=\infty$

  

1.6 电压源和电流源

1. 理想电压源

欧姆定律是刻画了电阻、电流、电压的关系，对于不满足欧姆定律，但是想求出等效电阻，可以等效成瞬间的某个点的 u 和 i 的商来表达

阻值为负的东西

不考虑内阻，对于灯泡而言，电流和电压关联$R^L=\frac{1.5}{i}$。对于电源来说，电流和电压非关联。如果把电源等效成一个电阻$R_S$，则$1.5V=(-)iR_S，R_S=-\frac{1.5V}{i} \\ 又\because R_L=\frac{1.5}{i}=-R_S \\ 若R_L=50\Omega，则R_S=-50\Omega$

如果考虑内阻，则$i=\frac{U_S}{r+R_L}，U_S=-iR_S\Rightarrow R_S=-\frac{U_S}{i}<0\Omega \\ R_S=-U_S\frac{r+R_L}{U_S}=-(r+R_L)，如果内阻和电源电阻合起来R_{S}+r=-(r+R_L)+r=-R_L$

• 定义：其两端电压总能保持定值或一定的时间函数，其值与流过它的电流 i 无关的元件叫理想电压源

• 电路符号：

  通常电源的电压电流取非关联参考方向，这样负载就是关联的

理想电压源的电压、电流关系

1. 电源两端电压由电源本身决定，与外电路无关，与流经它的电流方向、大小无关

   

   $i$可任意，$U_S$恒定

   根据图像可得，理想电压源的内阻$r=0$。但不影响电源工作时可以等效为负阻值的电阻

2. 通过电压源的电流由电源及外电路共同决定

   1. 电压源不能短路($i=\infty$)

   2. 多个电压源不能够不接负载而直接并联。因为导线是等势线，而负载可以分担电位差

   

• 电压源的功率

  $P=u_Si$

  1. 为了负载能关联，电源一般取非关联

     物理意义：电流(正电荷)由低电位向高电位移动，外力克服电场力做功，电源发出功率

     $P=(-)(-)u_Si$ 发出功率，起电源作用

  2. 电压源的电压、电流参考方向关联

     物理意义：电场力做功，电源吸收功率

     $P=(+)(+)u_Si$ 吸收功率，充当负载

例题

$u_R=(10-5)=5V \\ i=(+)(+)\frac{u_R}{R}=\frac{5V}{5\Omega}=1A \\ P_{10V}=(-)(-)u_Si=10V\times1A=10W(发出) \\ P_{5V}=(+)(+)u_Si=5V\times1A=5W(吸收) \\ P_R=Ri^2=5\Omega\times1A=5W(吸收)$

满足：$P(发出)=P(吸收)$

2. 理想电流源

• 定义：其输出电流总能保持定值或一定的时间函数，其值与它的两端电压$u$无关的元件叫理想电流源

• 电路符号：

  

理想电流源的电压、电流关系

1. 电流源的输出电流由电源本身决定，与外电路无关，与它两端电压方向、大小无关

   

   $i=i_S,\ u\neq0(可以是任意的)$

2. 电流源两端的电压由电源及外电路共同决定

   1. 电流源不能开路

   2. 多个电流源不能够不接负载而直接串联

实际电流源的产生：可有稳流电子设备产生，如晶体管的集电极电流与负载无关、光电池在一定光线照射下光电子被激发产生一定值的电流等

• 电流源的功率

  $P=ui_S$

  1. 电压、电流的参考方向非关联

     $P=(-)(-)ui_S$ 发出功率，起电源作用

  2. 电压、电流的参考方向关联

  $P=(+)(+)ui_S$ 吸收功率，充当负载

例题

$设顺时针的电流为i，i=-i_S=-2A \\ P_{2A}=(-)(-)i_Su=2A\times5V=10W>0(发出10W，实际发出10W) \\ P_{5V}=(-)(-)u_Si=5V\times(-2A)=-10W<0(发出-10W，实际吸收10W)$

满足：$P(发)=P(吸)$

1.7 受控电源(非独立源)

如图为时变的电压源，在$t_x$时刻的电压为$u_S(t_x)$。时变的电流源则是一组竖着的平行线，在$t_y$时刻的电流为$i_S(t_y)$

1. 定义

电压或电流的大小和方向不是给定的时间函数，而是受电路中某个地方的电压(或电流)控制的电源，称为受控源

• 电路符号：

  

2. 分类

根据控制量和被控制量是电压还是电流，受控源可分为 4 中类型：当被控量是电压时，用受控电压源表示，电流则用受控电流源表示

1. 电流控制的电流源(CC(Control)CS(Source))

   

2. 电压控制的电流源(VCCS)

   

   g 被称为电导是因为$u_1$移过去就是电导的公式$\frac{i}{u}$

3. 电压控制的电压源(VCVS)

   

4. 电流控制的电压源(CCVS)

   

例：

这是一个 CCCS，电流控制电流源

3. 受控源和独立源的比较

1. 独立电压源(或电流)由电源本身决定，与电路中其他电压、电流无关，而受控源电压(或电流)由控制量决定

2. 独立源在电路中起激励作用，在电路中产生电压、电流，而受控源是反应电路中某处的电压或电流对另一处的电压或电流的控制关系，在电路中不能作为激励

例题

$如图，该受控电压源为CCVS，电流控制电压源 \\ 其中，控制量为i_1，被控量是该元件两端的电位差u_控=5i_1 \\ 由此可得：先求出i_1，即可求出电位差 i_1=\frac{6V}{3\Omega}=2A \\ u_控=5i_1=10V \\ 假设u_2的电流方向为(自己定的一个虚拟电流方向，研究这个电流经过各个支路电位差的情况：如果是关联那就给这个电位差带+，反之非关联带-) \\$ $\\ 由这个虚拟的电流方向，可以得出以下式子：\\ u_2=(-)u_控+u_1=-10V+6V=-4V$

$\divideontimes$ 1.8 基尔霍夫定律

基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)

它反映了电路中所有支路电压和电流所遵循的基本规律，是分析集总参数 ($d\ll\lambda$) 电路的基本定律

基尔霍夫定律 (描述元件之间的约束) 与元件特性 (例如 VCR 伏安特性(电压、电流、阻性)。也就是元件自身的约束) 构成了电路分析的基础

1. 几个名词

1. 支路：

   1. 电路中每一个两端元件就叫一条支路(看元件个数是 5 条)

   2. 也可以是电路中通过同一电流的分支(串联支路电流相同，看作同一支路，这样子就只有 3 条)

2. 结点：

   1. 元件的连接点称为结点(重复的不算，一条线上的可以看成一个节点，则共有 4 个)

      

   2. 也可以是三条以上支路的连接点称为节点(将串联支路看作同一条支路，支路的公共点就是结点。所以按照这个规定就只有 2 个节点了)

      

3. 路径：两结点间的一条通路。由支路构成

4. 回路：也是由支路构成，但是是闭合的路径(收尾相接，且不能有重复的支路)

   

   如上图，共有 3 条回路。只计算个数时，不用说明回路方向。研究定理时除外

5. 网孔：对于平面电路而言，网孔是一种特殊的回路。如果回路的内部不含有任何支路，则该回路被称为网孔

   对于上图而言，回路有 3 条，但网孔只有 2 条(1、2)，回路 3 因为其内部含有支路，所以不能称为网孔

   注意： 网孔是回路，但回路不一定是网孔

2. 基尔霍夫电流定律(KCL)

在集总参数电路中，任意时刻，对任意结点流出(或流入)该结点电流的代数和等于零

该定义表达式有两种：

1. $\sum_{b=1}^{m}i(t)=0$

   需要指名正负方向(流入或流出)，该方向与电流的参考方向无关，只是指明流入还是流出

   $针对上图，令流出为+，有 \\ -i_1-i_2+i_3+i_4+i_5=0$

2. $\sum i_入=\sum i_出$

   对于一个结点而言，流入和流出的电流之和相等 (用的较多)

   $针对上图，不需要指名流入或流出的方向，有 \\ i_1+i_2=i_3+i_4+i_5$

例题

$针对结点1：0=i_1+i_4+i_6 \\ 针对结点2：i_4+i_2=i_5 \\ 针对结点3：i_5+i_6=i_3 \\ 三式相加，得：i_1-i_2+i_3=0(流出为+) \\ 由此可看出，i_1、i_2、i_3都在虚线圆外，不妨可以将虚线内看作一个广义结点$

表明： KCL 可推广应用于电路中包尾多个结点的任意一个闭合面

做题技巧： 比如还是针对上题，已知$i_1$、$i_2$，求$i_3$，其他电流未知。此时就可以直接$i_3=i_2-i_1$得到

明确：

1. KCL 是电荷守恒和电流连续性原理在电路中任意结点处的反应

2. KCL 是对结点处支路电流加的约束，与支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关 (说明 KCL 是一个拓扑约束，与图的结构有关)

3. KCL 方程是按电流参考方向列写的，与电流实际方向无关

3. 基尔霍夫电压定律(KVL)

在集总参数电路中，任意时刻，沿任意回路，所有支路电压的代数和恒等于零

该定义表达式有两种 (与 KCL 呈对偶关系，像这样的关系会有很多) ：

1. $\sum_{b=1}^{m}u(t)=0$

   要指名回路的方向，将这个方向想成该回路虚拟的电流方向，然后看这个回路中的支路是否与这个虚拟电流方向相关。关联带+，非关联带-

   $针对上图，定义虚拟电流方向为顺时针 \\ -U_1-U_{S1}+U_2+U_3+U_4+U_{S4}=0$

2. $\sum u_降=\sum u_升$

   也是指出一个虚拟电流的方向，顺着这个方向，把电压升高的支路电压写一块，降低的写一块

   $针对上图，+\rightarrow-为降低，-\rightarrow+为升高 \\ U_2+U_3+U_4+U_{S4}=U_1+U_{S1}$

$如果将负载电阻写在左，电压源写在右：\\ -R_1I_1+R_2I_2-R_3I_3+R_4I_4=U_{S1}-U_{S4}$

注意： KVL 也适用于电路中任意假想的回路 (实际上是断开的，但是想成是闭合的)

例题

$首先在a和b间连接了一个假想的负载电阻，构成一个假想的回路 \\ 虽然a、b之间是断开的，但只要u_{ba}有电位差，就可以列写广义的KVL \\ 假设电流方向为逆时针，则(+)U_1、(+)U_2、(+)U_S、(-)U_{ba} \\ U_1+U_2+U_S-U_{ba}=0$

明确：

1. KVL 的实质反映了电路遵从能量守恒定律

2. KVL 是对回路中的支路电压加的约束，与回路各支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关

3. KVL 方程是按电压参考放向列写，与电压实际方向无关

4. KCL、KVL 小结

1. KCL 是对支路电流的线性约束，KVL 是对回路电压的线性约束

2. KCL、KVL 与组成支路的元件性质及参数无关 (只与拓扑结构，电路图结构有关)

3. KCL 表明在每一结点上电荷是守恒的。KVL 是能量守恒的具体体现(电压与路径无关)

4. KCL、KVL 只适用于集总参数的电路

思考：

1. $黑盒问题，求这俩之间电流是否为 0？【正确】 \\ 将虚线内看作广义节点，流入只有I=0，而没有流出，\\ 则KCL方程为I=0$

2. $问：U_A是否=U_B，i_1(流过)是否=i_2？ \\ 对A点，列KCL，设流入流出电流如下图 \\$ $\\则i_2+\frac{0-U_A}{1\Omega}=\frac{U_A-U_B}{1\Omega} \\ \because U_B=2V \\ \therefore i_2-U_A=U_A-U_B\Rightarrow 2U_A=i_2+2V --\ (1) \\ 对左边回路，列KVL，电流方向顺时针，则U_{3V}升，其余降\\ (1\Omega+1\Omega)i_2+(U_A-0)=3V\Rightarrow 2i_2+U_A=3 --\ (2) \\ 代入(1)、(2)，得\{^{U_A=1.4V}_{i_2=0.8A} \\ 要求i_1，我这边对右边回路用KVL，\\ (1\Omega+1\Omega)i_1=2V\Rightarrow i_1=1A\\ 由此可得：U_A\neq U_B，i_1\neq i_2$

对于 2 的$U_{AB}$列欧姆定律，得到电流为$-0.6A$，所以实际电流是从 B 流向 A

将右边看作广义节点，则流出$0.6A$，通过接地流入$0.6A$

在对左边左下角节点作 KCL

$1.4A=0.8A+xA\Rightarrow x=0.6A$

得到：左右两边通过接地的等电位参考点($0v$)流入(右边)和流出(左边)$0.6A$的电流

结论：

1. 即使两点之间无电位差，但接上导线后可能有电流流过(理想导线，不符合欧姆定律)

2. 两点间无电位差，接上电阻后流过的电流为 0(电阻符合欧姆定律)

3. (我自己总结的) 如果两广义节点没有相同的参考点(接地)，即使相连，也不会有电流 (思考 1)

例题 1

$针对该题，我们需要找到一个广义的闭合面作为广义节点，来研究KCL \\ 像这样：\\$ $\\这样子就很简单了3A=-2A+i\Rightarrow i=5A$

例题 2

$设一个假想的回路，断开的也行 \\ 像这样$ $\\然后假定电流顺时针，根据u_降=u_升，得\\ 10V=u+5V+20V\Rightarrow u=-15V$

例 3

$假设该图只是某个电路的某个支路(否则是开路，i肯定是0) \\ 很显然，可以假设一个回路，设电流顺时针，列KVL：\\ 3i=4V+5V\Rightarrow i=3A$

例 4

$与例3相同，回路的一部分\\ 有电流源，且实际方向逆时针，所以电阻的电压一定与实际电流方向关联，则(+)U_{3\Omega}=3V，列KVL：\\ 4V+5V+3\Omega·1A=u\Rightarrow u=12V$

例 5

$(自己思考版本：)\\ 要求I，首先找节点，差一个流出的I_1就知道I了，则求I_1\\ 可以假定一个虚拟回路，绕开1A的电流源，列KVL：\\ 10\Omega·I_1+10V-(-10V)=0\Rightarrow I_1=-2\\ 针对节点列KCL：I+1A=-2A\Rightarrow I=-3A$

例 6

$(自己思考版本：)\\ 由于U_{2\Omega}由I得出，所以对下面节点列KCL：\\ I+3A=10A\Rightarrow I=7A \\ \therefore U_{2\Omega}=14V \\ 在针对只有电压源的回路(因为电流源求电位差麻烦)列KVL，设电流方向顺时针：\\ U+4V=14V\Rightarrow U=10V$

例 7

$(自己思考版本：)\\ 从图中看到，I_2是必须要求的，因为受控源的控制量都是I_2\\ 针对右边回路列KVL，方向与I_2相同：\\ 5\Omega·I_2+5\Omega·I_2=10V\Rightarrow I_2=1A \\ 这样一来，CCVS为3I_2=3V，CCCS为2I_2=2A \\ 直接对CCVS的回路列KVL，电流方向顺时针\\ U+5\Omega·2A=5V+3V\Rightarrow U=-2V$

1.9 习题(看看就行，直接贴原图了)